【启德考培】有不少同学问一道数学题目，这道数学题目是在问subset子集的数量。很多同学都不知道子集数量应该怎么算，所以面对这个题目完全不知道该如何切入。这个题目其实不需要专门背诵子集的数量公式，咱们利用排列组合的思路同样是可以求出来子集的数量的！那我们一起看一下这个题目如何用排列组合的思路来解决~~

一、什么是子集？

集合set指的是：由一个或多个元素所构成的整体。而相应的，构成集合的这些对象则称为该集合的元element。像集合A = {1, 2, 3}, 则集合A中就包含了三个元素：1、2、3。如果集合B的所有元素都在集合A中，那我们就可以把集合B称为集合A的子集（subset）。

举个例子：集合A = {1, 2, 3}, 而子集就相当于从集合A中抽出来一些元素构成了一个新的集合。像集合{2}就是{1, 2, 3}的子集，集合{1, 2}就是{1, 2, 3}的子集。

以及大家需要注意，数学规定：空集∅（不包含任何元素的集合），是任意一个集合的子集；一个集合自己本身也是它的子集，像{1, 2, 3}也属于是{1, 2, 3}的子集。

怎么求子集的数量？对于这个算法，咱们可以用排列组合的思路来证明。子集就相当于：从集合A{x, y, z……}（假设一共有n个元素）中抽出来一些元素构成了一个新的集合。新的集合可能抽了第1个元素x，也可能没抽第1个元素x，所以第1个元素在不在新的集合中有2种可能；新的集合可能抽了第2个元素y，也可能没抽第2个元素y，所以第2个元素在不在新的集合中有2种可能；……新的集合可能抽了第n个元素，也可能没抽第n个元素，所以第n个元素在不在新的集合中有2种可能。

因为集合A中的每一个元素是否在新的集合中，分别都是有2种可能（在 or 不在），所以从由n个元素所构成的集合A中抽取出来一些元素，可以构成2×2×……×2（一共n个2） = 2^n种可能。因此，一个由n个元素所构成的集合A一共是有2^n个子集。

二、相关题目练习

既然我们明白了一个由n个元素所构成的集合A一共是有2^n个子集。那我们来看一下这个题目：

The cardinality of a finite set is the number of elements in the set. Set A has a total of 16 subsets, including the empty set and set A itself. What is the cardinality of set A？

答案：4个

思路：在这个题目中，首先题目给了一个新型概念The cardinality of a set。并且对这个概念给了定义：the number of the elements in the set。就是说the cardinality of a set指的是集合的元素数量。而集合A一共是有16个子集。因为子集的数量 = 2^n = 16，所以可以解出n = 4，所以集合A的元素数量是4个。

同样的道理，我们可以再看一个题目：Set A={2, 4, 6}, Set B={2, 4, 6,8, 10,12}

If Set A is a subset of Set M, while Set M is subset of Set B, then how many ways can Set M be constructed?

(A)6    (B)7    (C)8    (D)9   (E)10

答案：C

思路：既然集合A是集合M的子集，说明集合M中一定有2、4、6这三个元素，这是固定死的，不需要我们主观选择。集合M是集合B的子集，就是说我们是从集合B的8、10、12中抽取元素放入集合M中。8、10、12这三个元素，每一个元素都有可能在M中，也可以不在M中，每个元素有2种可能性，所以一共是2^3 = 8种结果。